2021-09-19高二CSP模拟赛13

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背包问题

标签

lislis + dpdp

思路

从题目描述来看，这显然是一道 lislis 问题, 如果不考虑背包的承重的话，可以直接按重量排序，然后按价值做最长上升子序列。
如果考虑上背包承重，那么最长上升自序列的长度不能超过可以使用的背包数, 显然大背包要用来放大物品才不会有浪费, 所以把物品先按重量从大到小排序, 再按价值做最长下降子序列, 然后考虑对于求出的以 ii 结尾的最长下降子序列, 必须能够放到背包里. 所以以 ii 结尾的可以放到背包里的最长下降子序列
f[i]=min(max⁡j=1i−1(f[j]+1),容量大于wi的背包个数)f[i] = min(\max_{j=1}^{i-1} (f[j] + 1), 容量大于 w_i 的背包个数) , 用树状数组可以优化到 O(nlg⁡n)O(n\lg n) , 容量大于 wiw_i 的背包个数可以用双指针来求.

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int T;
int val[N];
pair<int, int> w[N];
int n, m;
int t[N];
int tmp[N], tot;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

int query(int x) {
    x = n - x + 1;
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        res = max(res, val[i]);
    }
    return res;
}

void change(int x, int v) {
    x = n - x + 1;
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        val[i] = max(val[i], v);
    }
}

bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}

bool cmp2(pair<int, int> a, pair<int, int> b) {
    if (a.first == b.first) return a.second > b.second;
    return a.first > b.first;
}

int f[N];

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        memset(val, 0, sizeof(val));
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d%d", &w[i].first, &w[i].second);
            tmp[i] = w[i].second;
        }
        sort(tmp + 1, tmp + n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            w[i].second = lower_bound(tmp + 1, tmp + n + 1, w[i].second) - tmp;
        }
        scanf("%d", &m);
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            scanf("%d", &t[i]);
        }
        sort(t + 1, t + m + 1, cmp);
        sort(w + 1, w + n + 1, cmp2);
        int j = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            while (j + 1 <= m && t[j + 1] >= w[i].first) {
                ++j;
            }
            f[i] = min(j, query(w[i].second) + 1);
            change(w[i].second, f[i]);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans = max(ans, f[i]);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

总结

这题本质上是在求有限制的最长上升子序列, 只是运用到了大物品放到大背包中的贪心思想.

子树问题

标签

dpdp + 计数 + 二项式系数

思路

先想一个错误的 dpdp , 设 f[i][j]f[i][j] 表示大小为 ii 的树, 深度小于等于 jj 的方案数. 然后可以写出一个错误的 dpdp , f[i][d]=∑j=1i−1f[i−j][d]+f[j][d−1](i−1j)f[i][d] = \sum_{j=1}^{i - 1} f[i - j][d] + f[j][d - 1]\tbinom{i - 1}{j} , 但这样是会有重复的 , 所以我们要设转移中的 jj 表示以次大的编号为根的子树的大小. 这样就可以防止重复.
f[i][d]=∑j=1i−1f[i−j][d]+f[j][d−1](i−2j−1)f[i][d] = \sum_{j=1}^{i - 1} f[i - j][d] + f[j][d - 1]\tbinom{i - 2}{j - 1}

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 550;
const int mod = 998244353;
int f[N][N];
int l, r;
int C[N][N];
int n, m;
int vis[N];

int add(int a, int b) {
    return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;
}

signed main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) C[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            C[i][j] = add(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x;
        scanf("%lld", &x);
        vis[x] = 1;
    }
    scanf("%lld%lld", &l, &r);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[1][i] = 1;
        f[0][i] = 1;
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            for (int k = 1; k < i; ++k) {
                if (!vis[k])
                    f[i][j] = add(f[i][j], f[i - k][j] * f[k][j - 1] % mod * C[i - 2][k - 1] % mod);
            }
        }
    }
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        if (vis[n]) {
            printf("0 ");
            continue;
        }
        printf("%lld ", (f[n][i] - f[n][i - 1] + mod) % mod);
    }
    return 0;
}

总结

去重好方法, 限制插入过程中被插入的元素的性质, 使得到的情况不重不漏.

括号序列

标签

哈希 + 前缀和

思路

先想怎么判断一个序列是否是括号序列, 从第一位开始如果栈顶元素和当前元素相等就弹栈, 否则把当前元素压入栈中. 最后判断栈是否为空即可.
考虑 O(n2)O(n^2) 做法 , 枚举左端点, 模拟判断的过程, 如果在某一位栈为空, 那么 ans++, 答案就是栈为空的子段个数.
那么可以考虑前缀和, 如果两个前缀的栈是一样的, 那么它们直接就是一个空栈, 所以只用从 11 开始对整个序列做一次操作, 然后把栈的哈希值排序, 这样就可以得到有多少对栈是相等的.

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
#define ull unsigned long long

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
const int p = 432421;
char s[N];
char stk[N];
int invp;
int tot;
int n;
int ans = 0;
int now;
ull f[N];
int id[N];

int qpow(int a, int b, int mod) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int add(int a, int b) {
    return a + b >= 998244353 ? a + b - 998244353 : a + b;
}

signed main() {
    scanf("%s", s + 1);
    n = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!tot || stk[tot] != s[i]) {
            stk[++tot] = s[i];
            f[i] = f[i - 1] * p + s[i];
            id[tot] = i;
        }
        else {
            --tot;
            f[i] = f[id[tot]];
        }
    }
    sort(f, f + n + 1);
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        if (f[i] == f[i + 1]) {
            ++cnt;
        }
        else {
            ++cnt;
            ans = add(ans, cnt * (cnt - 1) % 998244353 * qpow(2, 998244353 - 2, 998244353) % 998244353);
            cnt = 0;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}